Negotiator - Blog

http://negotiator.kvalitne.cz

Úvodní stránka>Věda>Matematika>Algebra
Témata
..::..

Kongruence

03.December 2010 | 12:39


Kongruence je algebraický pojem označující ekvivalenci na algebře, která je slučitelná se všemi operacemi na této algebře (tedy například, pokud jsou tři páry prvků ekvivalentní a výsledky nějaké operace na těchto párech jsou také ekvivalentní, pak existuje pro tyto páry kongruence).



Předpokládejme, že  (X, O_1, O_2, \ldots, O_n) \,\! je algebraická struktura s množinou prvků  X \,\! a operacemi  O_1, O_2, \ldots, O_n \,\! , operace  O_i \,\! je  m_i \,\! -ární. Předpokládejme dále, že  R \,\! je relace ekvivalence na množině  X \,\! . Řekneme, že  R \,\! je kongruence na  X \,\! , pokud pro každou z vyjmenovaných operací platí:
 a_1 \sim_R b_1, a_2 \sim_R b_2, \ldots, a_{m_i} \sim_R b_{m_i} \implies O_i(a_1,a_2,\ldots,a_{m_i}) \sim_R O_i(b_1,b_2,\ldots,b_{m_i}) \,\!

kde zápis  a_{m_i} \sim_R b_{m_i} značí binární relaci (ekvivalenci)  R \,\! prvků  a_{m_i}, b_{m_i} na množině  X \,\! .

Odpudivost této formální definice nemění nic na tom, že říká v podstatě totéž, co úvodní přiblížení - jsou-li operandy na stejném místě po dvou ekvivalentní, pak musí i výsledky operace být ekvivalentní.



Nejznámějším příkladem kongruence je rozklad množiny všech celých čísel na zbytkové třídy po dělení číslem  n \geq 2 \,\! , tj. relace, která je zavedena vztahem:
 a \equiv b \pmod n \Leftrightarrow n | (b-a) \,\!
jinými slovy: dvě čísla jsou ekvivalentní (modulo n), pokud mají stejný zbytek po dělení číslem  n \,\! . Pokud je z kontextu jasné, pro které n je kongruence zapsána (nebo na n nezáleží, protože zápis je platný pro jeho libovolnou hodnotu), vynechává se konec zápisu a píše se prostě  a \equiv b \,\! . Celý zápis se čte „a je kongruentní s b modulo n“.



Je-li navíc  n \,\! prvočíslo, pak navíc podle Malé Fermatovy věty:




Vlastnosti kongruence modulo n umožňují počítat pouze se zbytkovými třídami a výsledek pak zobecnit na všechna čísla - v takovýchto výpočtech zastupuje například číslo 3 v modulu 5 všechna čísla s ním kongruentní - 3,8,13,…, ale také -2,-7,… Kongruenci lze při výpočtech týkajících se dělitelnosti do jisté míry používat podobně jako rovnost při úpravách algebraických výrazů nebo při řešení rovnice.




Tento článek je licencován za podmínek GNU Free Documentation License. Používá materiál: Originální článek na Wikipedii.

..::..
Tento blog Copyright(c) Negotiator