Negotiator - Blog

http://negotiator.kvalitne.cz

Úvodní stránka>Věda>Matematika>Algebra
Témata
..::..

Základní věta algebry

03.December 2010 | 12:39


Základní věta algebry je důležité matematické tvrzení, které má fundamentální význam v algebře ale podstatnou roli hraje i v dalších odvětvích matematiky. Říká, že každý polynom s komplexními koeficienty stupně n \geq 1 má alespoň jeden komplexní kořen. Nejstarší publikovaný důkaz pochází od Jean-Robert Arganda z roku 1806.



Nechť P(x)=a_n\cdot x^n + \ldots + a_0 je polynom s koeficienty a_0,\ldots,a_n\in\mathbb{C},\; a_n\neq 0 stupně \,n\geq 1. Pak existuje číslo \,a\in\mathbb{C}, že \,P(a)=0.



Ačkoli je základní věta algebry čistě algebraickým tvrzením, není dosud znám žádný čistě algebraický důkaz. Všechny známé důkazy této věty využívají více či méně metod matematické analýzy.



Základní věta algebry je snadným důsledkem Liouvillovy věty z komplexní analýzy:

Dále dokazujme sporem. Nechť nějaký polynom P(x) s komplexními koeficienty a nenulového stupně nemá komplexní kořen. Pak funkce g(x) daná předpisem g(x)=\frac{1}{P(x)} je definována na celém \mathbb{C}. Dále jistě v komplexní rovině existuje kruh K se středem v nule takový, že |P(x)|\geq 1 pro x ležící mimo K. Protože |P(x)| je spojitá funkce nenulová na K a K je kompaktní, existuje \,\varepsilon>0, že \,|P(x)|>\varepsilon pro x z K. Potom |g(x)|<max(1,\frac{1}{\varepsilon}) pro každé x\in\mathbb{C}. Tedy g(x) je omezená na \mathbb{C} a holomorfní je zřejmě. Podle Liouvillovy věty tedy je g(x) konstantní a tedy i P(x) je konstantní, což je spor.



Pomozte Wikipedii tím, že tuto část vhodně rozšíříte.










Tento článek je licencován za podmínek GNU Free Documentation License. Používá materiál: Originální článek na Wikipedii.

..::..
Tento blog Copyright(c) Negotiator